爱铺网会员登录:有关三角形重心的性质
1、重心分中线成两线段,它们的长度比为2:1。
2、三条中线将三角形分成六个小块,六个小块面积相等,也就是说重心和三顶点的连线将三角形的面积三等分。
3、三角形中,重心为到三顶点距离的平方和最小的点。
4、重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
5、三角形ABC的重心为G,点P为其内部任意一点,
则3PG^2(AP^2+BP^2+CP^2)-1/3(AB^2+BC^2+CA^2)。
6、在三角形ABC中,过重心G的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q,则 AB/AP+AC/AQ=3。
重心,是在重力场中,物体处于任何方位时所有各组成支点的重力的合力都通过的那一点。规则而密度均匀物体的重心就是它的几何中心。
不规则物体的重心,可以用悬挂法来确定。物体的重心,不一定在物体上。另外,重心可以指事情的中心或主要部分。
扩展资料
三角形的三条中线交于一点为重心的证明
证明:设两中线BE、CF交于点G,连AG并延长交BC于D,延长GE至M,使EM=GE,连AM、CM.
∵AG、GM互相平分
∴四边形AGCM是平行四边形
∵F是AB的中点
∴G是BM的中点,又GD||AM
∴D是BC的中点,三条中线AD、BE、CF交于点G.
这点叫三角形的重心。
这点有物理意义,均匀质材的三角板的重量(质量)以该点为质心,因此这点叫三角形的重心。
参考资料来源:百度百科-重心
三角形重心的性质:
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。 (等边三角形)
4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均数,
5、三角形内到三边距离之积最大的点。
6、在△ABC中,若MA向量+MB向量+MC向量=0(向量) ,则M点为△ABC的重心,反之也成立。
7、设△ABC重心为G点,所在平面有一点O,则向量OG=1/3(向量OA+向量OB+向量OC)
扩展资料:
一、三角形内心性质(设△ABC的内切圆为☉I(r),∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,p=(a+b+c)/2):
1、三角形的内心到三边的距离相等,都等于内切圆半径r
2、∠BIC=90°+∠BAC/2
3、在RtΔABC中,∠A=90°,三角形内切圆切BC于D,则S△ABC=BD×CD
4、点O是平面ABC上任意一点,点I是△ABC内心的充要条件是:向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)。
二、三角形外心的性质:
性质1:
(1)锐角三角形的外心在三角形内;
(2)直角三角形的外心在斜边上,与斜边中点重合;
(3)钝角三角形的外心在三角形外.
(4)等边三角形外心与内心为同一点。
性质2:∠BGC=2∠A,(或∠BGC=2(180°-∠A)).
性质3:∠GAC+∠B=90°
参考资料:百度百科-三角形重心
重心的几条性质 :
1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4.在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均。
5.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
6.三角形ABC的重心为G,点P为其内部任意一点,则3PG²=(AP²+BP²+CP²)-1/3(AB²+BC²+CA²)。
7.在三角形ABC中,过重心G的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q,则 AB/AP+AC/AQ=3
8.从三角形ABC的三个顶点分别向以他们的对边为直径的圆作切线,所得的6个切点为Pi,则Pi均在以重心G为圆心,r=1/18(AB²+BC²+CA²)为半径的圆周上。
9、G为三角形ABC的重心,P为三角形ABC所在平面上任意一点,则PA²+PB²+PC²=GA²+GB²+GC²+3PG²。
扩展资料:
证明:
已知:△ABC中,D为BC中点,E为AC中点,AD与BE交于O,CO延长线交AB于F。求证:F为AB中点。
证明1:燕尾定理:S(△AOB)=S(△AOC),又S(△AOB)=S(△BOC),∴S(△AOC)=S(△BOC),
再应用燕尾定理即得AF=BF,命题得证。
证明2:塞瓦定理:如图1,在△ABC中,AD、BE、CF是中线,则AF=FB,BD=DC,CE=EA。
∵(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)=1 ∴AD、BE、CF交于一点即三角形的三条中线交于一点 。
参考资料:百度百科---重心
重心是三角形三边中线的交点
1,重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1
2,等积:
重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3。重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
中线的交点