杭州交通信息网王者荣耀改名神器:高一数学
来源：百度文库 编辑：杭州交通信息网 时间：2024/04/28 00:49:27
直角三角形ABC中，斜边BC为m，以BC得中点O为圆心，作半径为n（n〈m/2）的圆，分别交BC于P、Q两点，求证|AP|平方+|AQ|平方+|PQ|平方 为定值。
∵ O为BC的中点，BC=m
∴ 以中点O为圆心，半径为m/2的圆必经过B、C两点。
故 P点即B点，Q点即C点。
|AP|²+|AQ|²+|PQ|²＝|AB|²+|AC|²+|BC|²＝|BC|²＋|BC|²＝2m²
理所当然为定值。 （因为BC长度m是已知的）
可以BC为X轴，O点作圆心，则若左面的点为P，右面的点为Q
则 P(-n,0) Q(n,0)
设A点坐标为（x,y)
又直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知道
AO = m/2
两点间距离公式可知
根号（x的平方 + y的平方） = m/2
又由此公式可知
AP的平方 = (x+n)的平方 + y的平方
AQ的平方 = (x-n)的平方 + y的平方
所以
|AP|平方+|AQ|平方+|PQ|平方
=[(x+n)的平方 + y的平方]+[(x-n)的平方 + y的平方]
+ 4n的平方
=2*x的平方 + 2*y的平方 + 6*n的平方
=(m的平方/4)*2 + 6*n的平方
=m的平方/2 +6*n的平方
此为定值，所以原题获证
注：*是乘号
先记着.
1
1
m^2/2+6*n^2