杭州交通信息网哈尔滨金色江湾无产权:数学不等式
来源：百度文库 编辑：杭州交通信息网 时间：2024/04/28 15:53:15
设a、b、c∈R,已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)= cx2+bx+a,(ac≠0),且当∣x∣≤1时, ∣f(x)∣≤2，∣c∣≤2，∣g(1)∣≤2
求证：∣x∣≤1时, ∣g(x)∣≤4
求证：∣x∣≤1时, ∣g(x)∣≤4
f(1)=a+b+c
f(0)=c
f(-1)=a-b+c
所以有a=(f(1)+f(2))/2-f(0)
b=(f(1)-f(2))/2
c=f(0)
带入g(x)=cx2+bx+a
有∣g(x)∣=∣f(0)*x2+(f(1)-f(2))/2*x+(f(1)+f(2))/2-f(0)∣
=∣f(0)*(x2-1)+f(1)*(x+1)/2+f(2)*(1-x)/2∣
<=∣f(0)*(x2-1)∣+∣f(1)*(x+1)∣/2+∣f(2)*(1-x)∣/2
<=∣f(0)∣*∣(x2-1)∣+∣f(1)∣*∣(x+1)∣/2+∣f(2)∣*∣(1-x)∣/2
又因为∣x∣≤1，所以∣(x2-1)∣、∣(x+1)∣、∣(1-x)∣都不小于零
而且∣f(1)∣∣f(0)∣∣f(-1)∣≤2
所以带入有∣g(x)∣≤2*∣(x2-1)∣+2*∣(x+1)∣/2+2*∣(1-x)∣/2
＝2*(x2-1)+(x+1)+(1-x)
=2*x2≤2*∣x∣2≤4