杭州交通信息网庆云阳光廉效360:数学问题
来源：百度文库 编辑：杭州交通信息网 时间：2024/04/29 08:46:18
已知a,b,c是三角形的三边,且a平方+b平方+c平方=ab+bc+ac,请判断此三角形形状,并说明理由
a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=1/2*(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc)=1/2*[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]=0
所以，a=b=c
等边三角形 (a^2是a的平方）
a平方+b平方+c平方=ab+bc+ac
成立,
则a=b=c(想想上面=改成>=时怎么证的?)
等边三角形
正三角形
因为:
A平方+B平方+C平方=AB+BC+AC
所以2*(A平方+B平方+C平方)=2AB+2BC+2AC
移项:
A平方-2AB+B平方+B平方-2BC+C平方+A平方-2AC+C平方=0
(A-B)平方+(A-C)平方+(B-C)平方=0
所以A=B,B=C,A=C
所以是正三角形
∵a2+b2+c2=ab+ac+bc
∴a2+b2+c2-ab-ac-bc=0
∴2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0
∴a2-2ab+b2+a2-2ac+c2+b2-2bc+c2=0
∴(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0
∴a-b=0,a-c=0,b-c=0
∴a=b=c，（a,b,c≠0)
∴三角形是等边三角形
以a^2记a的2次方。
由于
a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca
关于a, b, c的任意排列是对称的，所以不失一般性，可设
a ≥ b ≥ c > 0.
则有
由排序不等式知，
a^2 + b^2 + c^2 ≥ ab + bc + ca
中等号成立的充要条件就是
a = b = c.
移项a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0,所以1/2*(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc)=1/2*[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]=0,即a=b=c,是等边△.