宋代古钱币价格图片:为什么会这样?

问题就出在x+1/x=-1这个方程是无解的。

如：x+1/x=-1
x^2+x+1=0
(x+0.5)^2= -0.75
显然任何一个数的平方数是不可能是负的，所以此方程是一个无解方程，那么下面得出的结论自然也就不正确了。

产生增根是无疑的。你的疑问是，你做的每一步似乎都是同解变形，为什么最后会产生增根。问题的关键是找到你做的哪一步不是同解变形，也就是说究竟哪一步把解的范围扩大了，产生了增根。

你做了两次“两边同乘以x”。考虑到x ≠ 0，这两步都是同解变形。即方程
x + 1/x = 0
的解既满足：
x^2 + x + 1 = 0 且 x ≠ 0, ……(1)
也满足
x^3 + x^2 + 1 = 0 且 x ≠ 0. ……(2)
而到了下面一步，计算(2) - (1)得
x^3 - x = 0 且 x ≠ 0. ……(3)
你认为这一步是同解变换，但(3)式既不与(1)等价也不与(2)等价。事实上，(3)式的解的范围已经扩大了。我们说，所有满足(1)式（或(2)式）的解都是(3)式的解，但是不能说所有满足(3)式的解就是(1)式（或(2)式）的解。

你把两个相互等价的式子做了减法运算，得到的结果并不与原来的式子等价！

关于这一点，我们可以举个简单的例子说明它：
x = 1 ……(a)
与
x - 1 = 0 ……(a')
无疑是等价的。但我们用(a) - (a')得到的式子
x - (x - 1) = 1 - 0 ……(b)
却不与(a)或(a')等价！因为它等价于
1 = 1 ……(b')
是一个恒等式，不论x取值如何(b)式或(b')式都是成立的。

最后推导出来 x^3-1=0
可以分解 （x-1)(x^2+x+1)=0
前提是 x+1/x=-1
即 x^2+x+1=0
所以 （x-1)=任意，方程（x-1)(x^2+x+1)=0
都成立。 不能推出x=1

你看
从x^3=1这个方程中不能推出x=1，因为它有三个根（一个实根，两个虚根）你只考虑了x=1,实际上，两个虚根恰好满足方程x+x^(-1)=1

懂了吗？高中会学的（“复数”那章）