杭州交通信息网unity3d制作的游戏:求助一道数学题
来源：百度文库 编辑：杭州交通信息网 时间：2024/05/03 01:07:32
已知x=1是函数f(x)=mx^3-3(m+1)x^2+nx+1的一个极值点，其中m,n∈R,m<0；
（1）求f(x)的单调区间
（2）当x∈〔-1，1〕时，函数y=f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围
各位帮帮忙，谢谢
（1）求f(x)的单调区间
（2）当x∈〔-1，1〕时，函数y=f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围
各位帮帮忙，谢谢
先求导，得f'(x)=3mx^2-6(m+1)x+n，由于x=1是函数的一个极值点，所以
f'(1)=3m-6(m+1)+n=n-3m-6=0
所以f'(x)=3mx^2-6(m+1)x+3m+6=3(x-1)(mx-m-2)
令f'(x)=0，则x=1或x=(m+2)/m，由于m<0，所以(m+2)/m<1
（1）当x<(m+2)/m或x>1时，f(x)递减；当(m+2)/m<=x<=1时，f(x)递增
（2）原题等价于f'(x)>3m对于x∈〔-1，1〕恒成立。
所以3mx^2-6(m+1)x+6>0对于x∈〔-1，1〕恒成立。
由于这个抛物线是个开口向下的，因此只用检验x=-1与x=1这两点即可（只有在这两点可能取最小值）
所以
-3m>0
9m+12>0
所以-4/3<m<0