南京江宁区万达广场:CAN YOU HELP ME?

数学竞赛正以它特有的魅力吸引着千千万万的少年朋友，成为现代数学课外教育的一个重要组成部分。数学竞赛之所以受到人们的普遍重视，是由于数学竞赛是青少年科学素质教育的一种不可忽视的方式，是发现人才、选拔人才、培养人才的一种有效途径。近10年来，我们在从事数学教学的同时，积极抓好竞赛辅导，并取得了不少成绩，可归纳成如下8个字：“选苗、择材、分导、集训”。
一、选 苗
“朽木不可雕”，这是众所周知的，但也未必只有良玉才能镂精品。选好竞赛苗子是第一关。
（1）小学摸底筛选：首先，向小学教师了解毕业生中的奥赛选手和思维敏捷、解题速度快的学生。其次，在小学升入初中后进行一次摸底考试，把成绩优异者和了解到的两类学生结合考虑，从中选出每班15～20人，组成课外兴趣小组。
（2）初一观察筛选：由于小学到初中是一个飞跃阶段，学生变化较大，小学基础好，到初中也有可能不适应，小学不怎么好，升入初中后，随着环境、年龄的改变，可能会脱颖而出，初一第一学期教师要细心观察、分析，物色合适的人选。从第二学期开始，对兴趣小组进行调整。向学生说明成立兴趣小组的目的，并要他们作好吃苦的思维准备，然后由学生自愿报名，最后由教师综合确定。人选的基本要求：①踏实认真肯吃苦；②勇于拼搏有竞争意识；③思维敏捷、解题速度快；④学习成绩中等偏上。
（3）初二强化筛选：通过初一的学习，学生对初中数学的学习已处于稳定状态，在初一学年考试的基础上，选出一部分成绩优异者组织暑期夏令营，进行数学竞赛系统培训，强化训练，尔后组织数学竞赛，优胜者作为初二数学兴趣小组成员。
二、择 材
要造就一流的竞赛选手，摘取炫目的竞赛桂冠，就必须要有一套理想的辅导资料。
1、选择教材：目前各种竞赛辅导材料很多，这当中有高质量的，也有粗制滥造的。所选辅导教材要求浅显易懂，技巧性强，方法别具一格，也有一定的权威性。为此，笔者认为应以三“一”为主。“一本教材”（《奥林匹克数学教程》，中国数学会普委会编），“一本杂志”（《中等数学》，中国数学会普委员，天津师大等主办），“一套试卷”（《初中数学竞赛训练卷》）。另外，再不断充实一些教材，杂志作参考，以取百家之长。
2、选择例题、习题：竞赛辅导例题、习题的选择应注意针对性、阶梯性、典型性、多解性、灵活性。
（1）针对性：一是针对学生实际，在学生可接受的基础上加深加宽，不能盲目拔高。二是针对教材重点、难点。
例1 已知x、y是实数，且y= ———————＋2，求yx的值。
针对学生实际在讲述算术平方根后，由学生利用算术根性质解决例1是可行的，作为重点知识，还可深化练习：设√a（x－a）＋√a（y－a）=√x－a－√a－y在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则—————的值是多少。
（2）阶梯性：从易到难，由基础知识训练到技能技巧的培养，层层递进。
例2 A、B、C、D是直线l上的四个点，求直线l中共有几条线段？
有两种思考方法：一是以构成线段的端点个数（分别以A、B、C、D为起点，从左到右每两点构成一条线段）计算；二是以构成线段的基本线段条数（相邻两点连成的线段称为基本线段）计算。在学生完全掌握此题解法的基础上，逐步拓广、深化。
（3）典型性：具有代表性，能代表一类题型，有举一反三的作用。吃透几题，就能驾驭一大批题。
例3 设a＋b＋c=0，a2＋b2＋c2=2，a3＋b3＋c3=2
求 ：（1）abc，（2）a4＋b4＋c4的值。
此题在代数式的求值和恒等变形中有一定的代表性，由此可解决一类问题。
如：1）已知：a＋b＋c=3m求(m－a) 3＋(m－b) 3＋(m－c) 3－3(m－a)(m－b) (m－c)的值。
2）已知a＋b＋c=0，a3＋b3＋c3=0，求证：an＋bn＋cn=0（n为正奇数）
3）当a＋b＋c=1/a＋1/b＋1/c=1时，则①a、b、c中至少有一个等于1。
②a3＋b3＋c3= (a＋b＋c) 3
③(—＋—＋—)（a3＋b3＋c3）=1
④—＋—＋—= ————— （n为正奇数）
例4 解方程 |x－3|＋|x－5|=3。
利用绝对值意义，借助于图像，很快可以求得，方程的两根为x1=2.5或x2=5.5。
（4）多解性：这里的“解”，包含两层意思，一是一题有多种解法，从不同的角度利用不同的知识，获得相同的结果称为一题多解。二是一题有多种解的结果。
例5 ∠ACE=∠CDE=90°，点B在CE上，CA=CB=CD过A、C、D三点的圆交AB于F，求证：F为ΔCDE的内心（1995全国试题）。
此题证法众多，所涉及的知识面很广，有等腰三角形、直角三角形、三角形外角、四点共圆、圆周角、圆心角等性质，而且都是平面几何中最基本的内容，是一道培养发散性思维的好题。
例6 已知ΔABC中，H是垂心，且BH=AC，那么∠ABC的度数等于 （1991年杭州试题）。此题有两解，∠ABC=45°或∠ABC=135°，学生往往遗漏后一解，应引起足够重视，要加强此类题的训练。
（5）灵活性：题型灵活多变，不囿于常规解法，灵活性大，技巧性强，往往用常规方法不能解或解法很繁，而用某种特殊方法解却易如反掌。
例7 关于x的方程x2＋px＋q=0的两根和s1，两根平方和为s2，两根立方和为s3，试求：s3＋ps2＋qs1的值。
例8 求证，每个边长都是有理数，且内角都相等的八边形的对边相等。
按常规方法证线段相等，要利用全等三角形、等腰三角形、平行四边形、比例线段等，但此题却都行不通，由此，把目光从“形”转到“数”上来，灵活利用有理数和无理数的性质，使解答妙笔生辉。
选择好的例题、习题，能有目的地对学生进行思维的严谨性、敏捷性、广阔性、创造性培养，形成良好的思维品质。
三、分 导
分散时间，分散教材，分散学生进行辅导，做到步步扎稳，层层落实。从初一抓起，在小学升入初中摸底考选苗后，即成立数学兴趣小组，以后逐步筛选充实。制订活动计划，一般每星期两次，定时布置、检查，批改数学竞赛练习。定期检查与随机抽查相结合，多询问，多督促，多鼓励，多指导。指导他们看一些竞赛书籍与杂志，积极参加各家杂志举办的数学竞赛；给他们指导解题方法与技巧。对这部分学生，鼓励他们自学，提前完成课堂任务，抽出一定时间，让他们越级听课，越级参赛。初一学生参加初二竞赛，初二学生参加初三竞赛。
认为竞赛辅导就是组织兴趣小组、开展专题讲座，这是片面的。其实平时课堂内打好基础，穿插渗透是非常重要的。具体的可以从以下5方面着手：
（1）变式。设置变式训练可使学生举一反三，一题多变，多题一解，活跃课堂气氛，提高分类、比较、归纳能力，收到事半功倍之效果。
（2）专题。根据教材特点，每学期设置1～2个重点课题进行专题教学，如“应用题”、“全等三角形”、“根与系数关系”等等，分课时安排自学提要与基本题型、强化训练、疑难分析、检查总结等各个环节，以期突出重点，攻破难点。
（3）自学。选与已教过的课有密切联系的可以比较的内容进行自学，如同底数幂的除法（与乘法对照）一次函数、反比例函数（与正比例函数对照）等。有些例题可讲一部分，自学一部分，必要时再补充一部分。学生能自学的应放手让他们多练，培养其自学能力。
（4）渗透。在教学中，穿插一些与本书内容密切相关的有一定深度的内容，注重渗透一些边缘知识，扩大知识面，课尾常设置一些要跳一跳才能摘到的“桃子”，让学生的思维有驰骋的余地。这对培养具有钻研精神的数学竞赛尖子不失为一种有效的举措。
（5）竞赛。对有些课可两节并一节上，或某一专题5节并4节上，抽出一节进行课堂小组竞赛，提高学习兴趣，扩大视野。这也可以作为一种参赛演习。
四、集 训
其中辅导，系统培训。在平时分散辅导的同时，每周集中一次，作一些专题讲座。每年寒暑假组织学生参加县或学校冬令营、夏令营集训，选定教材，进行系统培训，特别要注意不是让学生只带着耳朵听，要把侧重点放在解题上，要求学生完成一定量的练习题和练习卷，培训结束后，进行一次数学竞赛，一是检查学生培训情况，二是表彰成绩好的学生，以提高学生的学习兴趣和竞争意识。在参赛前要抽出一定时间进行集训，包括：（1）心理素质；（2）应试策略；（3）典型的重要解题方法；（4）数学思想；（5）数学原理。通过赛前集训，使学生对选择题、填空题的解法、奇偶法、配方法、待定系数法；整体思想、数形结合思想、换元思想、构造（方程、函数、图形）思想、变换（对称、平移、旋转、延拓、等积）思想、分合思想、分类思想、逆反（反客为主）思想、特殊化思想及抽屉原理、极端原理、容斥原理、对称原理、排序原理等进行回顾和梳理，使之有良好的心理准备，临场时高水平和超水平地发挥。
数学竞赛，作为一种智力、能力和美的竞赛，丰富了学生的课外活动内容，训练了学生的心理素质，激发了学生的上进心和创造性思维。数学尖子的产生，对促进其他学生、其他学科，提高学校的声誉，都有积极作用。因此， 如何搞好初中数学竞赛辅导，这是很值得我们大家探讨的课题。

2004年第十五届希望杯初二第1试试题
一、选择题（每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在下面的表格内。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 共得分
答案 C D C B D A C B A B
1、小伟自制了一个孔成像演示仪，如图1所示，在一个圆纸筒的两端分别用半秀明纸和黑纸封住，并用针在黑纸的中心刺出一个小孔。小伟将有黑纸的一端正对着竖直放置的“ ”形状的2004年第十五届希望杯初二第1试试题
光源，则他在半透明纸上观察到的像的形状是
（A） （B） （C） （D）
2、代数式 的化简结果是
（A） （B） （C） （D）
3、已知 是实数，且 ，那么
（A）31 （B）21 C）13 （D）13或21或31
4、已知 （ ＞ ）是两个任意质数，那么下列四个分数
① ； ② ； ③ ； ④
中总是最简分数的有
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
5、Given are real numbers, and , then the value of is
（A）4 （B）6 （C）3 （D）4or6
6、某出版社计划出版一套百科全书，固定成本为8万元，每印制一套需增加成本20元。如果每套定价100元，卖出后有3成给承销商，出版社要盈利10%，那么该书至少应发行（精确到千位）
（A）2千套 （B）3千套 （C）4千套 （D）5千套
7、△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C，满足3∠A＞5∠B，3∠C≤∠B，则这个三角形是
（A）锐角三角形 （B）直角三角形 （C）钝角三角形 （D）等边三角形
8、如图2，正方形ABCD的面积为256，点E在AD上，点F在AB的延长线上，EC⊥FC，△CEF的面积是200，则BF的长是
（A）15 （B）12 （C）11 （D）10
9、如图3，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E、F分别是对角线AC、BD的中点，则
（A） （B）
（C） （D）
10、 表示不大于 的最大整数，如[3.15]=3，[－2.7]=－3，[4]=4，则

（A）1001 （B）2003 （C）2004 （D）1002
二、A组填空题（每小题4分，共40分。含两个空的小题，每个空2分。）
11、计算： 。
12、已知 。
13、已知 是三个实数，且 的平均数是127， 的和的三分之一是78， 的和的四分之一是52，那么 的平均数是 。
14、Given in the △ABC,a,b,c are three sides of the triangle, a=3, b=10 and perimeter of the triangle is multiple of 5, then the length of c is 。
（英汉小词典：side：边；perimeter：周长；multiple：倍数）
15、某学校有学生2000名，从中随意询问200名，调查收看电视的情况，结果如下表：
每周收看电视的时间t（小时） 0＜t≤2 2＜t≤4 4＜t≤6 6＜t≤8 t＞8
人 数 15 47 78 41 19
则全校每周收看电视不超过6小时的人数约为 。
16、如图4，等腰梯形ABCD的面积是49平方厘米，AD‖BC，且AC⊥BD，AF⊥BC，则BD= 平方厘米，AF= 平方厘米。
17、方程 或 。
18、已知 是三个互不相同的非零实数，设 ； 的大小关系是 。
19、已知 均为实数，且 ， ，那么 ＝ ； 。
20、小明做数学题时，发现

按上述规律，第五个等式是 ；第n个等式是 。
三、B组填空题（每小题8分，共40分。每题两个空，每个空4分。）
21、一个三位自然数，当它分别被2、3、4、5、7除时，余数都是1，那么具有这个性质的最小三位数是 ；最大三位数是 。
22、一个直角三角形的三条边长均为整数，已知它的一条直角边的长为15，那么另一条直角边的长有 种可能，其中最大值是 。
23、已知 都是质数，且 ＞40，那么满足以上条件的最小质数 ； 。
24、用1、2、3、4、5这五个数字可以组成60个没有重复数字的三位数，那么这60个三位数的和是 ；这个和除以111，得到的商是 。
25、如图5，正方形BCDE和ABFG的边长分别为 ，连接CE和CG，则图中阴影部分的面积是 ；CE和CG的大小关系是 。

参考答案
一、 选择题：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C D C B D A C B A B

二、 A组填空题：
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

98 116 12 1400 ，7
-3或0 a>b,c>d 4，3 ，

三、 B组填空题：
21 22 23 24 25
421，841 4，112 53，2 19980，180 ，CE<CG

第1讲 数论的方法技巧（上）
数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。
数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。主要的结论有：
1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得
a=bq+r（0≤r＜b），
且q，r是唯一的。
特别地，如果r=0，那么a=bq。这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a的约数，a是b的倍数。
2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c。
3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即

其中p1＜p2＜…＜pk为质数，a1，a2，…，ak为自然数，并且这种表示是唯一的。（1）式称为n的质因数分解或标准分解。
4．约数个数定理：设n的标准分解式为（1），则它的正约数个数为：
d（n）=（a1+1）（a2+1）…（ak+1）。
5．整数集的离散性：n与n+1之间不再有其他整数。因此，不等式x＜y与x≤y-1是等价的。
下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。
一、利用整数的各种表示法
对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决。这些常用的形式有：
1．十进制表示形式：n=an10n+an-110n-1+…+a0；
2．带余形式：a=bq+r；

4．2的乘方与奇数之积式：n=2mt，其中t为奇数。
例1 红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图放置，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。结果小明发现，无论白色卡片上是什么数字，计算结果都是1998。问：红、黄、蓝3张卡片上各是什么数字？

解：设红、黄、白、蓝色卡片上的数字分别是a3，a2，a1，a0，则这个四位数可以写成
1000a3+100a2+10a1+a0，
它的各位数字之和的10倍是
10（a3+a2+a1+a0）=10a3+10a2+10a1+10a0，
这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差是
990a3+90a2-9a0=1998，
110a3+10a2-a0=222。
比较上式等号两边个位、十位和百位，可得
a0=8，a2=1，a3=2。
所以红色卡片上是2，黄色卡片上是1，蓝色卡片上是8。

解：依题意，得

a+b+c＞14，

说明：求解本题所用的基本知识是，正整数的十进制表示法和最简单的不定方程。
例3 从自然数1，2，3，…，1000中，最多可取出多少个数使得所取出的数中任意三个数之和能被18整除？
解：设a，b，c，d是所取出的数中的任意4个数，则
a+b+c=18m，a+b+d=18n，
其中m，n是自然数。于是
c-d=18（m-n）。
上式说明所取出的数中任意2个数之差是18的倍数，即所取出的每个数除以18所得的余数均相同。设这个余数为r，则
a=18a1+r，b=18b1+r，c=18c1+r，
其中a1，b1，c1是整数。于是
a+b+c=18（a1+b1+c1）+3r。
因为18|（a+b+c），所以18|3r，即6|r，推知r=0，6，12。因为1000=55×18+10，所以，从1，2，…，1000中可取6，24，42，…，996共56个数，它们中的任意3个数之和能被18整除。
例4 求自然数N，使得它能被5和49整除，并且包括1和N在内，它共有10个约数。
解：把数N写成质因数乘积的形式

由于N能被5和72=49整除，故a3≥1，a4≥2，其余的指数ak为自然数或零。依题意，有
（a1+1）（a2+1）…（an+1）=10。
由于a3+1≥2，a4+1≥3，且10=2×5，故
a1+1=a2+1=a5+1=…=an+1=1，
即a1=a2=a5=…an=0，N只能有2个不同的质因数5和7，因为a4+1≥3＞2，故由
（a3+1）（a4+1）=10
知，a3+1=5，a4+1=2是不可能的。因而a3+1=2，a4+1=5，即N=52-1×75-1=5×74=12005。
例5 如果N是1，2，3，…，1998，1999，2000的最小公倍数，那么N等于多少个2与1个奇数的积？
解：因为210=1024，211=2048＞2000，每一个不大于2000的自然数表示为质因数相乘，其中2的个数不多于10个，而1024=210，所以，N等于10个2与某个奇数的积。
说明：上述5例都是根据题目的自身特点，从选择恰当的整数表示形式入手，使问题迎刃而解。
二、枚举法
枚举法（也称为穷举法）是把讨论的对象分成若干种情况（分类），然后对各种情况逐一讨论，最终解决整个问题。
运用枚举法有时要进行恰当的分类，分类的原则是不重不漏。正确的分类有助于暴露问题的本质，降低问题的难度。数论中最常用的分类方法有按模的余数分类，按奇偶性分类及按数值的大小分类等。
例6 求这样的三位数，它除以11所得的余数等于它的三个数字的平方和。
分析与解：三位数只有900个，可用枚举法解决，枚举时可先估计有关量的范围，以缩小讨论范围，减少计算量。
设这个三位数的百位、十位、个位的数字分别为x，y，z。由于任何数除以11所得余数都不大于10，所以
x2+y2+z2≤10，
从而1≤x≤3，0≤y≤3，0≤z≤3。所求三位数必在以下数中：
100，101，102，103，110，111，112，
120，121，122，130，200，201，202，
211，212，220，221，300，301，310。
不难验证只有100，101两个数符合要求。
例7 将自然数N接写在任意一个自然数的右面（例如，将2接写在35的右面得352），如果得到的新数都能被N整除，那么N称为魔术数。问：小于2000的自然数中有多少个魔术数？

对N为一位数、两位数、三位数、四位数分别讨论。

N|100，所以N=10，20，25，50；

N|1000，所以N=100，125，200，250，500；
（4）当N为四位数时，同理可得N=1000，1250，2000，2500，5000。符合条件的有1000，1250。
综上所述，魔术数的个数为14个。
说明：（1）我们可以证明：k位魔术数一定是10k的约数，反之亦然。
（2）这里将问题分成几种情况去讨论，对每一种情况都增加了一个前提条件，从而降低了问题的难度，使问题容易解决。
例8 有3张扑克牌，牌面数字都在10以内。把这3张牌洗好后，分别发给小明、小亮、小光3人。每个人把自己牌的数字记下后，再重新洗牌、发牌、记数，这样反复几次后，3人各自记录的数字的和顺次为13，15，23。问：这3张牌的数字分别是多少？
解：13+15+23=51，51=3×17。
因为17＞13，摸17次是不可能的，所以摸了 3次， 3张扑克牌数字之和是17，可能的情况有下面15种：
①1，6，10 ②1，7，9 ③1，8，8
④2，5，10 ⑤2，6，9 ⑥2，7，8
⑦3，4，10 ⑧3，5，9 ⑨3，6，8
⑩3，7，7 (11)4，4，9 (12)4，5，8
(13)4，6，7 (14)5，5，7 (15)5，6，6
只有第⑧种情况可以满足题目要求，即
3+5+5=13；3+3+9=15；5+9+9=23。
这3张牌的数字分别是3，5和9。
例9 写出12个都是合数的连续自然数。
分析一：在寻找质数的过程中，我们可以看出100以内最多可以写出7个连续的合数：90，91，92，93，94，95，96。我们把筛选法继续运用下去，把考查的范围扩大一些就行了。
解法1：用筛选法可以求得在113与127之间共有12个都是合数的连续自然数：
114，115，116，117，118，119，120，
121，122，123，124，125，126。
分析二：如果12个连续自然数中，第1个是2的倍数，第2个是3的倍数，第3个是4的倍数……第12个是13的倍数，那么这12个数就都是合数。
又m+2，m+3，…，m+13是12个连续整数，故只要m是2，3，…，13的公倍数，这12个连续整数就一定都是合数。
解法2：设m为2，3，4，…，13这12个数的最小公倍数。m+2，m+3，m+4，…，m+13分别是2的倍数，3的倍数，4的倍数……13的倍数，因此12个数都是合数。
说明:我们还可以写出
13！+2，13！+3，…，13！+13
（其中n！=1×2×3×…×n）这12个连续合数来。
同样，
（m+1）！+2，（m+1）！+3，…，（m+1）！+m+1是m个连续的合数。
三、归纳法
当我们要解决一个问题的时候，可以先分析这个问题的几种简单的、特殊的情况，从中发现并归纳出一般规律或作出某种猜想，从而找到解决问题的途径。这种从特殊到一般的思维方法称为归纳法。
例10 将100以内的质数从小到大排成一个数字串，依次完成以下5项工作叫做一次操作：
（1）将左边第一个数码移到数字串的最右边；
（2）从左到右两位一节组成若干个两位数；
（3）划去这些两位数中的合数；
（4）所剩的两位质数中有相同者，保留左边的一个，其余划去；
（5）所余的两位质数保持数码次序又组成一个新的数字串。
问：经过1999次操作，所得的数字串是什么？
解：第1次操作得数字串711131131737；
第2次操作得数字串11133173；
第3次操作得数字串111731；
第4次操作得数字串1173；
第5次操作得数字串1731；
第6次操作得数字串7311；
第7次操作得数字串3117；
第8次操作得数字串1173。
不难看出，后面以4次为周期循环，1999=4×499+3，所以第1999次操作所得数字串与第7次相同，是3117。
例11 有100张的一摞卡片，玲玲拿着它们，从最上面的一张开始按如下的顺序进行操作：把最上面的第一张卡片舍去，把下一张卡片放在这一摞卡片的最下面。再把原来的第三张卡片舍去，把下一张卡片放在最下面。反复这样做，直到手中只剩下一张卡片，那么剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的第几张？
分析与解：可以从简单的不失题目性质的问题入手，寻找规律。列表如下：

设这一摞卡片的张数为N，观察上表可知：
（1）当N=2a（a=0，1，2，3，…）时，剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的最后一张，即第2a张；
（2）当N=2a+m（m＜2a）时，剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的第2m张。
取N=100，因为100=26+36，2×36=72，所以剩下这张卡片是原来那一摞卡片的第72张。
说明：此题实质上是著名的约瑟夫斯问题：
传说古代有一批人被蛮族俘虏了，敌人命令他们排成圆圈，编上号码1，2，3，…然后把1号杀了，把3号杀了，总之每隔一个人杀一个人，最后剩下一个人，这个人就是约瑟夫斯。如果这批俘虏有111人，那么约瑟夫斯的号码是多少？
例12 要用天平称出1克、2克、3克……40克这些不同的整数克重量，至少要用多少个砝码？这些砝码的重量分别是多少？
分析与解：一般天平两边都可放砝码，我们从最简单的情形开始研究。
（1）称重1克，只能用一个1克的砝码，故1克的一个砝码是必须的。
（2）称重2克，有3种方案：
①增加一个1克的砝码；
②用一个2克的砝码；
③用一个3克的砝码，称重时，把一个1克的砝码放在称重盘内，把3克的砝码放在砝码盘内。从数学角度看，就是利用3-1=2。
（3）称重3克，用上面的②③两个方案，不用再增加砝码，因此方案①淘汰。
（4）称重4克，用上面的方案③，不用再增加砝码，因此方案②也被淘汰。总之，用1克、3克两个砝码就可以称出（3+1）克以内的任意整数克重。
（5）接着思索可以进行一次飞跃，称重5克时可以利用
9-（3+1）=5，
即用一个9克重的砝码放在砝码盘内，1克、3克两个砝码放在称重盘内。这样，可以依次称到1+3+9=13（克）以内的任意整数克重。
而要称14克时，按上述规律增加一个砝码，其重为
14+13=27（克），
可以称到1+3+9+27=40（克）以内的任意整数克重。
总之，砝码的重量为1，3，32，33克时，所用砝码最少，称重最大，这也是本题的答案。
这个结论显然可以推广，当天平两端都可放砝码时，使用1，3，
这是使用砝码最少、称重最大的砝码重量设计方案。
练习1
1．已知某个四位数的十位数字减去1等于其个位数字，个位数字加2等于百位数字，这个四位数的数字反着顺序排列成的数与原数之和等于9878。试求这个四位数。

3．设n是满足下列条件的最小自然数：它们是75的倍数且恰有75个
4．不能写成两个奇合数之和的最大偶数是多少？
5．把1，2，3，4，…，999这999个数均匀排成一个大圆圈，从1开始数：隔过1划掉2，3，隔过4，划掉5，6……这样每隔一个数划掉两个数，转圈划下去。问：最后剩下哪个数？为什么？
6．圆周上放有N枚棋子，如右图所示，B点的一枚棋子紧邻A点的棋子。小洪首先拿走B点处的1枚棋子，然后顺时针每隔1枚拿走2枚棋子，连续转了10周，9次越过A。当将要第10次越过A处棋子取走其它棋子时，小洪发现圆周上余下20多枚棋子。若N是14的倍数，则圆周上还有多少枚棋子？

7．用0，1，2，3，4五个数字组成四位数，每个四位数中均没有重复数字（如1023，2341），求全体这样的四位数之和。
8．有27个国家参加一次国际会议，每个国家有2名代表。求证：不可能将54位代表安排在一张圆桌的周围就座，使得任一国的2位代表之间都夹有9个人。
练习1
1.1987。

（a+d）×1000+（b+c）×110+（a+d）= 9878。
比较等式两边，并注意到数字和及其进位的特点，可知
a+d=8，b+c=17。
已知c-1=d，d+2=b，可求得
a=1，b=9，c=8，d=7。
即所求的四位数为1987。
2.1324，1423，2314，2413，3412，共5个。
3.432。
解：为保证n是75的倍数而又尽可能地小，因为75=3×5×5，所以可设n有三个质因数2，3，5，即n=2α×3β×5γ，其中α≥0，β≥1，γ≥2，并且
（α+1）（β+1）（γ+1）=75。
易知当α=β=4，γ=2时，符合题设条件。此时

4.38。
解：小于38的奇合数是9，15，21，25，27，33。
38不能表示成它们之中任二者之和，而大于38的偶数A，皆可表示为二奇合数之和：
A末位是0，则A=15+5n，
A末位是2，则A=27+5n，
A末位是4，则 A=9+5n，
A末位是6，则A=21+5n，
A末位是8，则A=33+5n，
其中n为大于1的奇数。因此，38即为所求。
5.406。
解：从特殊情况入手，可归纳出：如果是3n个数（n为自然数），那么划1圈剩下3n-1个数，划2圈剩下3n-2个数……划（n-1）圈就剩3个数，再划1圈，最后剩下的还是起始数1。
36＜999＜37，从999个数中划掉（999-36=）270个数，剩下的（36=） 729个数，即可运用上述结论。
因为每次划掉的是2个数，所以划掉270个数必须划135次，这时划掉的第270个数是（135×3=）405，则留下的36个数的起始数为406。所以最后剩下的那个数是406。
6.23枚。
解：设圆周上余a枚棋子。因为从第9次越过A处拿走2枚棋子到第10次将要越过A处棋子时小洪拿走了2a枚棋子，所以，在第9次将要越过A处棋子时，圆周上有3a枚棋子。依此类推，在第 8次将要越过 A处棋子时，圆周上有32a枚棋子……在第1次将要越过A处棋子时，圆周上有39a枚棋子，在第1次将要越过A处棋子之前，小洪拿走了[2(39a-1)+1]枚棋子，所以N=2(39a-1)+1+39a=310a-1。
若N=310a=59049a-1是14的倍数，则N就是2和7的公倍数，所以a必须是奇数；
若N=（7×8435+4）a-1=7×8435a+4a-1是 7的倍数，则4a-1必须是7的倍数，当a=21，25，27，29时，4a-1不是7的倍数，当a=23时，4a-1=91=7×13，是7的倍数。
当N是14的倍数时，圆周上有23枚棋子。
7.259980。
解：用十进位制表示的若干个四位数之和的加法原理为：
若干个四位数之和=千位数数字之和×1000+
百位数数字之和×100+
十位数数字之和×10+
个位数数字之和。
以1，2，3，4中之一为千位数，且满足题设条件的四位数有4×3×2=24（个）。这是因为，当千位数确定后，百位数可以在其余4个数字中选择；千、百位数确定后，十位数可以在其余3个数字中选择；同理，个位数有2种可能。因此，满足条件的四位数的千位数数字之和为
（1+2+3+4）×4×3×2=240。
以1，2，3，4中之一为百位数时，因为0不能作为千位，所以千位数也有3种选择；十位数也有3种选择（加上0）；个位数有2种选择。因此，
百位数数字之和=（1+2+3+4）×18=180。
同理，十位数数字之和、个位数数字之和都是180。
所以满足条件的四位数之和为
240×1000+180×（1+10+100）= 259980。
8.将54个座位按逆时针编号：1，2，…，54。由于是围圆桌就座，所以从1号起，逆时针转到55，就相当于1号座；转到56，就相当于2号座；如此下去，显然转到m，就相当于m被54所除的余数号座。
设想满足要求的安排是存在的。不妨设1和11是同一国的代表，由于任一国只有2名代表，于是11和21不是同一国代表，下面的排法是：
21和31是同一国的代表；
31和41不是同一国的代表；
41和51是同一国的代表；
51和61不是同一国的代表（61即7号座）。
由此，20k+1和20k+11是同一国的代表，若20k+1，20k+11大于54，则取这个数被54除的余数为号码的座位。
取k=13，则261和271是同一国的，而261被54除的余数是45，271被54除的余数是1，这就是说，1号座与45号座是同一国的代表，而我们已设1号与11号座是同一国的代表。这样，1号、11号、45号的三位代表是同一国的，这是不可能的。所以题目要求的安排不可能实现。

第2讲 数论的方法技巧（下）
四、反证法
反证法即首先对命题的结论作出相反的假设，并从此假设出发，经过正确的推理，导出矛盾的结果，这就否定了作为推理出发点的假设，从而肯定了原结论是正确的。
反证法的过程可简述为以下三个步骤：
1．反设：假设所要证明的结论不成立，而其反面成立；
2．归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾；
3．结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立。
运用反证法的关键在于导致矛盾。在数论中，不少问题是通过奇偶分析或同余等方法引出矛盾的。

解：如果存在这样的三位数，那么就有
100a+10b+c=（10a+b）+（10b+c）+（10a+c）。上式可化简为 80a=b+c，而这显然是不可能的，因为a≥1，b≤9，c≤9。这表明所找的数是不存在的。
说明：在证明不存在性的问题时，常用反证法：先假设存在，即至少有一个元素，它符合命题中所述的一切要求，然后从这个存在的元素出发，进行推理，直到产生矛盾。
例2 将某个17位数的数字的排列顺序颠倒，再将得到的数与原来的数相加。试说明，得到的和中至少有一个数字是偶数。
解：假设得到的和中没有一个数字是偶数，即全是奇数。在如下式所示的加法算式中，末一列数字的和d+a为奇数，从而第一列也是如此，因此第二列数字的和b+c≤9。将已知数的前两位数字a，b与末两位数字c，d去掉，所得的13位数仍具有“将它的数字颠倒，得到的数与它相加，和的数字都是奇数”这一性质。照此进行，每次去掉首末各两位数字，最后得到一位数，它与自身相加是偶数，矛盾。故和的数字中必有偶数。

说明：显然结论对（4k+1）位数也成立。但对其他位数的数不一定成立。如12+21，506+605等。
例3 有一个魔术钱币机，当塞入1枚1分硬币时，退出1枚1角和1枚5分的硬币；当塞入1枚5分硬币时，退出4枚1角硬币；当塞入1枚1角硬币时，退出3枚1分硬币。小红由1枚1分硬币和1枚5分硬币开始，反复将硬币塞入机器，能否在某一时刻，小红手中1分的硬币刚好比1角的硬币少10枚？
解：开始只有1枚1分硬币，没有1角的，所以开始时1角的和1分的总枚数为 0+1=1，这是奇数。每使用一次该机器，1分与1角的总枚数记为Q。下面考查Q的奇偶性。
如果塞入1枚1分的硬币，那么Q暂时减少1，但我们取回了1枚1角的硬币（和1枚5分的硬币），所以总数Q没有变化；如果再塞入1枚5分的硬币（得到4枚1角硬币），那么Q增加4，而其奇偶性不变；如果塞入1枚1角硬币，那么Q增加2，其奇偶性也不变。所以每使用一次机器，Q的奇偶性不变，因为开始时Q为奇数，它将一直保持为奇数。
这样，我们就不可能得到1分硬币的枚数刚好比1角硬币数少 10的情况，因为如果我们有P枚1分硬币和（P+10）枚1角硬币，那么1分和1角硬币的总枚数为（2P+10），这是一个偶数。矛盾。
例 4在3×3的方格表中已如右图填入了9个质数。将表中同一行或同一列的3个数加上相同的自然数称为一次操作。问：你能通过若干次操作使得表中9个数都变为相同的数吗？为什么？

解：因为表中9个质数之和恰为100，被3除余1，经过每一次操作，总和增加3的倍数，所以表中9个数之和除以3总是余1。如果表中9个数变为相等，那么9个数的总和应能被3整除，这就得出矛盾！
所以，无论经过多少次操作，表中的数都不会变为9个相同的数。
五、构造法
构造法是一种重要的数学方法，它灵活多样，数论中的许多问题都可以通过构造某些特殊结构、特殊性质的整数或整数的组合来解决。
例5 9999和99！能否表示成为99个连续的奇自然数之和？
解：9999能。因为9999等于99个9998之和，所以可以直接构造如下：
9999=（9998-98）+（9998-96）+…+
=（9998-2）+9998+（9998+2）+…+
=（9998+96）+（9998+98）。
99！不能。因为99！为偶数，而99个奇数之和为奇数，所以99！不能表示为99个连续奇数之和。
说明：利用构造法证明存在性问题，只要把满足题设要求的数学对象构造出来就行。
例6 从1，2，3，…，999这999个数中，要求划去尽量少的数，使得余下的数中每一个数都不等于另外两个数的乘积。应划去哪些数？
解：我们可划去2，3，…，30，31这30个数，因为划去了上述这30个数之后，余下的数中，除1以外的任何两个数之积将大于322=1024＞999。
另一方面，可以通过构造三元数组来证明30是最少的个数。
（2，61，2×61），（3，60，3×60），（4，59，4×59），…，
（30，33，30×33），（31，32，31×32）。
上面写出的这些数都是互不相同的，并且这些数中的最大数为 31×32=992。如果划去的数少于30个，那么上述三元数组至少剩下一个，这样就不满足题设条件。所以，30是最少的个数。
六、配对法
配对的形式是多样的，有数字的凑整配对，也有集合间元素与元素的配对（可用于计数）。传说高斯8岁时求和（1+2+…+100）首创了配对。像高斯那样，善于使用配对技巧，常常能使一些表面上看来很麻烦，甚至很棘手的问题迎刃而解。
例7 求1，2，3，…，9999998，9999999这9999999个数中所有数码的和。
解：在这些数前面添一个数0，并不影响所有数码的和。将这1000万个数两两配对，因为0与9999999，1与9999998，…，4999999与5000000各对的数码和都是9×7=63。这里共有5000000对，故所有数码的和是63×5000000=315000000。
例8 某商场向顾客发放9999张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从0001到9999号。若号码的前两位数字之和等于后两位数字之和，则称这张购物券为“幸运券”。例如号码 0734，因 0+7=3+4，所以这个号码的购物券是幸运券。试说明，这个商场所发的购物券中，所有幸运券的号码之和能被101整除。
解：显然，号码为9999的是幸运券，除这张幸运券外，如果某个号码n是幸运券，那么号码为m=9999-n的购物券也是幸运券。由于9999是奇数，所以m≠n。
由于m+n=9999，相加时不出现进位，所以除去号码是9999这张幸运券之外，其余所有幸运券可全部两两配对，而每一对两个号码之和均为9999，即所有幸运券号码之和是9999的倍数。
因为9999=99×101，所以所有幸运券号码之和能被101整除。

试说明分子m是质数89的倍数。
解法一：仿照高斯求和（1+2+3+…+n）的办法，将和

①②两式相加，得

从而
2m×88！=89×k（k是正整数）。
因为89为奇质数，所以89不能整除 88！，从而89|m。
解法二：作配对处理

将括号内的分数进行通分，其公分母为
1×88×2×87×3×86×…×44×45=88！，

从而
m×88！=89×k（k=n×q）。
因为89为奇质数，所以89不能整除88！，从而89|m。
七、估计法
估计法是用不等式放大或缩小的方法来确定某个数或整个算式的取值范围，以获取有关量的本质特征，达到解题的目的。
在数论问题中，一个有限范围内的整数至多有有限个，过渡到整数，就能够对可能的情况逐一检验，以确定问题的解。
求这个数，并求出满足题意的5组不同的真分数。
解：因每一真分数满足

而所求的数整S是四个不同的真分数之和，因此2＜S＜4，推知S=3。于是可得如下5组不同的真分数：

例11 已知在乘积1×2×3×…×n的尾部恰好有106个连续的零，求自然数n的最大值。
分析：若已知n的具体数值，求1×2×…×n的尾部零的个数，则比较容易解决，现在反过来知道尾部零的个数，求n的值，不大好处理，我们可以先估计n大约是多少，然后再仔细确定n的值。

因此，乘积1×2×3×…×400中含质因数5的个数为80+16+3=99（个）。又乘积中质因数2的个数多于5的个数，故n=400时，1×2×…×n的尾部有99个零，还需 7个零，注意到425中含有2个质因数5，所以
当n=430时，1×2×…×n的尾部有106个零；
当n=435时，1×2×…×n的尾

1。有一为科学家的年龄问题，一位科学家他说：我的年龄的三次放是个四位数，四次方是个六位数，如果把这个四位数和六位数合起来看，正好是从零到九十个数字，顺序不一定是零到九，求他的年龄？