达内飞机大战:数学题目

1\
(2+1)(2^2+1)(2^4+1)…(2^32+1)+1
设多项式的值为S
有S=(2+1)(2^2+1)(2^4+1)…(2^32+1)+1
同时乘上(2-1)有
(2-1)S=(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)…(2^32+1)+(2-1)
根据平方差公式(a+b)(a-b)=a^2+b^2
有
S=(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)…(2^32+1)+(2-1)
又有
S=(2^4-1)(2^4+1)…(2^32+1)+(2-1)
...
最后
S=(2^32-1)(2^32+1)+(2-1)
S=2^64+1+2-1
S=2^64+2 //做到这一步就够了
S=18446744073709551618 //准确值

2/
第二题很混淆
不知道|x|是指数还是|x|-1是指数
当|x|-1是指数时
有
x=-1 or 2 //这个可以试出来
具体过程
因为n^0=1(n不等于0)
所以x可为负1
又因为1的任何次方为1
故x-1=1,x=2

当|x|是指数时
有
(x-1)^|x|=2
因为|x|>0 且(x-1)^|x|的结果为整数
所以(x-1)为整数 故x为整数
但指数运算为2的只有2^1=2
所以x-1=2 x=3 ①
|x|=1 x=±1 ②
①②矛盾
故无解

1\
(2+1)(2^2+1)(2^4+1)…(2^32+1)+1
设多项式的值为S
有S=(2+1)(2^2+1)(2^4+1)…(2^32+1)+1
同时乘上(2-1)有
(2-1)S=(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)…(2^32+1)+(2-1)
根据平方差公式(a+b)(a-b)=a^2+b^2
有
S=(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)…(2^32+1)+(2-1)
又有
S=(2^4-1)(2^4+1)…(2^32+1)+(2-1)
...
最后
S=(2^32-1)(2^32+1)+(2-1)
S=2^64+1+2-1
S=2^64+2 //做到这一步就够了
S=18446744073709551618 //准确值

2/
第二题很混淆
不知道|x|是指数还是|x|-1是指数
当|x|-1是指数时
有
x=-1 or 2 //这个可以试出来
具体过程
因为n^0=1(n不等于0)
所以x可为负1
又因为1的任何次方为1
故x-1=1,x=2