杭州交通信息网电视剧严凤英第十集:数学问题
来源：百度文库 编辑：杭州交通信息网 时间：2024/05/01 06:47:36
已知一列非零向量An满足：A1=(x1,y1),An=(Xn,Yn)=0.5(X(n-1)-Y(n-1),X(n-1)+Y(n-1),)(n≥2)
（1）证明{｜An｜}是等比数列；
（2）求向量A(n-1)与An的夹角(n≥2)
（1）证明{｜An｜}是等比数列；
（2）求向量A(n-1)与An的夹角(n≥2)
我用a^b表示a的b次方
（1）首先我们要注意到An^2=|An|^2
现有
4|An|^2
=(2An)^2
=(X(n-1)-Y(n-1))^2+(X(n-1)+Y(n-1))^2
=2(X(n-1)^2+Y(n-1)^2)
=2A(n-1)^2
=2|A(n-1)|^2
即|An|=(根号2)*|A(n-1)|，得证
（2）因A(n-1)*An（这里*代表内积）
=|A(n-1)||An|cost（t为A(n-1)与An的夹角(n≥2)）
=(根号2)*[|A(n-1)|^2]*cost
故
cost=[A(n-1)*An]/{(根号2)*[|A(n-1)|^2]}……（1）
而
A(n-1)*An
=0.5(X(n-1)-Y(n-1))*Xn+0.5(X(n-1)+Y(n-1))*Yn
=(X(n-1)^2+Y(n-1)^2)/2
=[|A(n-1)|^2]/2
结合(1)便得
cost=(根号2)/2
故t=45度