南岸区公安局官方网站:球体的表面积和体积的计算公式和推导过程

来源:百度文库 编辑:杭州交通信息网 时间:2024/03/29 23:38:28
如果用链接,请确保可以使人看清,并且请主要回答推导过程.

第一种从“下而上”不足近似值逼近(比实际值小)准确值推导法:设球的半径为R,半球体高的平分数为n;r1,r2,r3----rn分别为各不同圆柱饼的半径,具体推算步骤如下:根据直角三角形定理,先求出每个圆柱饼的半径得:(1)r1=根号R^2-(R/n)^2,r2=根号R^2-(2R/n)^2,r3=根号R^2-(3R/n)^2-----rn=根号R^2-(nR/n)^2.(2)然后再求出每个圆柱饼的体积之和:V=V1+V2+V3------=πR/n{R^2-(R/n)^2}+πR/n{R^2-(2R/n)^2}+πR/n{R^2-(3R/n)^2}---++----πR/n{R^2-(nR/n)^2}=πR^3/n(1-1^2/n^2+1-2^2/n^2+1-3^2/n^2----+1-n^2/n^2)=πR^3/n{n-(1^2+2^2+3^2--+--n^2)/n^2}=πR^3/n{n-n(n+1)(2n+1)/6n^2=πR^3{1-(2n^2+3n+1)/6n^2}=πR^3{1-(2+3*1/n+1/n^2)/6}=πR^3{1-(1+1/n)(2+1/n)/6}(注:当n取无穷大时1/n趋向于0)得半球的体积V=4/6πR^3后再乘以2。即:整球的体积公式V=4/3πR^3。
二,第二种从“上而下”过剩近似值逼近(比实际值大)准确值推导法:设球的半径为R,半球体高的平分数为n;r1,r2,r3----rn分别为各不同圆柱饼的半径,具体推算步骤如下:根据直角三角形定理,先求出每个圆柱饼的半径得:(一),(1)r1=根号R^2-(R-R/n)^2,(2)r2=根号R^2-(R-2R/n)^2,(3)r3=根号R^2-(R-3R/n)^2---++---(n)rn=根号R^2-(R-nR/n)^2,(二)再求出每个圆柱饼的体积之和:V=V1+V2+V3------=πR/n{R^2-(R-R/n)^2}+πR/n{R^2-(R-2R/n)^2}+πR/n{R^2-(R-3R/n)^2}---++----πR/n{R^2-(R-nR/n)^2}=πR^3/n{2/n-(1/n)^2}+πR^3/n{2×2/n-(2/n)^2}+πR^3/n{2×3/n-(3/n)^2}+πR^3/n{2n/n-(n/n)^2}=πR^3/n{2×(1+2+3--+--n)/n}-(1^2+2^2+3^2---++-n^2)/n^2}=πR^3/n{n(n+1)/n-n(n+1)(2n+1)/6n^2}=πR^3{(n^2+n)/n^2-(2n^2+3n+1)/6n^2}=πR^3(6n^2+6n-2n^2-3n-1)/6n^2=πR^3(4n^2+3n-1)/6n^2=πR^3{(4+3/n-(1/n)^2)}/6=πR^3(4-1/n)(1+1/n)/6.(注:当n取无穷大时1/n趋向于0)得半球的体积V=4/6πR^3,最后再乘以2,得:整球的体积公式V=4/3πR^3。综上所述:事实证明二种推导结果完全一致,只是前者较为简单,后者更为复杂而已,我还是建议学生采用前者便捷!

要用积分算,你几年纪?