杭州交通信息网国学知识竞赛试题库:数学 函数题
来源：百度文库 编辑：杭州交通信息网 时间：2024/04/20 03:37:14
f(m+n)=f(m)*f(n)
当x>0时，0<f(x)<1
证明：f(x)的单调性
当x>0时，0<f(x)<1
证明：f(x)的单调性
设a>b>0,
于是：0<f(b)<1, 0<f(a-b)<1;
f(a)-f(b)=f[b+(a-b)]-f(b)
=f(b)*f(a-b)-f(b)
=f(b)*[f(a-b)-1]
<0
于是f(x)在x>0时是减函数。
又因为：
f(x)=f(0+x)=f(0)*f(x)，
上式对任何x都成立，必然有f(0)=1
于是：
f(0)=f[x+(-x)]=f(x)*f(-x)=1
故f(-x)=1/f(x)
于是：
f(-a)-f(-b)=1/f(a)-1/f(b)
又因f(x)在x>0处为减函数，于是1/f(x)在x>0处为增函数。因为a>b>0，所以上式的右边>0，于是有：
f(-a)>f(-b)
因-a<-b<0，故f(x)在x<0处也为减函数。
综上述，f(x)为减函数。
注：以上重在思路，若有运算错漏还请包含