上海镭驰金融骗局:平行板电容器的静电能

1, 导体和电介质的静电特性;
2,导体和电介质内外的电场分布图像;
3,静电场的能量.
1,按导电能力划分,大致可将物体分为两类:
导体:导电能力极强的物体
绝缘体或电介质:导电能力极弱或者不导电的物体
2,金属导体的电结构特点:具有大量的自由电子.当导体不带电,也不受外电场的作用时,导体内的大量自由电子和晶体格点阵的正电荷相互中和,导体呈电中性状态.
§9-1 静电场中的导体(Conductors in Electrostatic Field)
静电感应现象:在导体内部存在电场时,自由电子受电场力作用作定向运动,从而引起导体内部正负电荷的的重新分布,结果使导体一端带正电荷,一端带负电荷.这就是静电感应,分布在导体上的电荷便是感应电荷.
1.导体的静电平衡状态 (electrostaticequilibrium):
指导体内部和表面都没有电荷作宏观的定向运动的状态.
(E :感应电荷q 产生的电场)
2. 静电平衡条件(electrostatic equilibrium condition) :
导体内部电场强度处处为零
这也是静电平衡问题的出发点
3,导体静电平衡时的特点
场强特点:
电势特点:导体是等势体;导体表面是等势面.
电荷分布特点:电荷只分布在导体表面上,导体表面附近的场强 与该表面的电荷面密度成正比,方向垂直于表面:
对孤立导体,表面各处的面电荷密度和该处表面的曲率有关.一般而言,曲率大处,面电荷密度大.
这一结论对孤立导体和处于外电场中的任意导体均适用
§9-2 空腔导体内外的静电场
导体空腔内无带电体
不论导体空腔是自身带电还是处在外电场中,在静电平衡条件下,腔的内表面上处处没有电荷,电荷只能分布在腔的外表面上,腔内空间各点的电场强度处处为零.
空腔导体外面的空间总有电场存在,电场分布由腔外表面的电荷分布和其它带电体的分布共同决定.
P
O
总之,对导体空腔内无带电体
当导体处在外电场中时,空腔导体外的带电体,只会影响空腔导体外表面上的电荷分布,并改变空腔导体外的电场分布.
这些电荷重新分布的结果,最终是使导体内部及空腔内部的场强为零.
P
Q
O
导体空腔内有带电体
导体空腔内的空间有带电体时,设电量为q,在静电平衡条件下,腔的内,外表面上分别出现电荷量为-q和q的感应电荷.若导体空腔原来带电量为q0,则腔外表面上的带电量为q0+q.腔内空间场强值由腔内带电体和腔内表面上的电荷分布决定,与腔外表面及腔外其它带电体的电荷分布无关.
腔外空间的电场由腔内带电体和外加电场在外表面产生的感应电荷共同确定.
P
q
Q
O
§9-2 空腔导体内外的静电场
导体空腔内的电场
导体空腔内的空间无带电体时,不论腔外是否有带电体(附加电场),在静电平衡条件下,腔的内表面上处处没有电荷,电荷只能分布在腔的外表面上,腔内空间各点的电场强度处处为零.
P
Q
导体空腔内的空间有带电体时,设电量为q,在静电平衡条件下,腔的内,外表面上分别出现电荷量为-q和q的感应电荷.若导体空腔原来带电量为q0,则腔外表面上的带电量为q0+q.腔内空间场强值由腔内带电体的电荷量,位置和腔内表面的形状决定.
P
q
Q
导体空腔外的电场
当腔外无附加电场时,腔内带电体将在腔外表面感应出与带电体等量同号电荷,这些感应电荷在腔外空间激发电场.
当腔外有附加电场时,(1)腔内无电荷,受附加电场影响,腔外表面产生感应电荷,腔外附加电场会重新分布.(2)腔内有电荷,腔外表面上的电荷由腔内带电体和腔外附加电场产生的两种感应电荷共同确定,它们共同在腔外空间激发电场.
总之,只要有附加电场存在,无论腔内有无带电体,腔外表面上的感应电荷都会影响该附加电场的分布.
静电屏蔽(Electrostatic Shielding)
在静电平衡条件下:
空腔导体外面的带电体不会影响空腔内部的电场分布,即空腔导体可保护腔内空间的电场不受腔外带电体的影响;
接地空腔导体,空腔内的带电体对腔外的物体不会产生影响.即接地空腔导体可保护腔外空间的电场不受腔内带电体的影响,
以上两种现象称为静电屏蔽.
静电屏蔽的讨论
静电屏蔽的物理实质使导体在电场作用下,导体中的自由电子重新分布,使导体上出现感应电荷,而感应电荷产生的场与其他源电荷产生的场在一特定区域内合场强为零,从而使处在该区域内的物体不受电场作用.
导体的静电屏蔽作用是自然界存在两类电荷与导体中存在大量自由电子的结果.
从静电屏蔽的最后结果看,因为导体内部场强为零,电场线都终止在导体表面上,犹如电场线不能穿透金属导体,但这里的电场线代表所有电荷共同产生的电场.
§9-3 电容器(capacitor)的电容(capacity)
孤立导体的电容
孤立导体的电容定义为:导体带电量与导体电势的比:
物理意义:使导体升高单位电势所需的电荷量.
1,电容是导体的客观性质,电容反映了该导体在给定电势的条件下储存电量能力的大小,C 越大,说明在相同的电势下储存的电量越多.
2,电容仅由导体的形状,大小和周围电介质决定,与导体是否带电及带电多少无关.
国际单位:法拉(F=C/V) 1F=106 F=1012pF
电容的单位
国际单位:F法拉(1F=1C/V)
F是一个很大的单位,电容为1F的孤立导体球的半径约为9×109m.地球的半径为6.4 × 106m,把地球看作是球形导体时,电容为:

通常取微法( F ),皮法(pF)作为电容的单位
1F=106 F=1012pF
非孤立导体的电容
此时带电导体的电势不仅与自己所带的电荷有关,且与周围导体的形状,位置及其带电状况带电体都有关系.即非孤立导体的电势与其电荷量不成正比.
采用静电屏蔽的原理来消除其他导体的影响
(参见P95例题9-2)球A在球B的影响下电势发生了变化,但两球的电势差恒保持不变
因此 ,
即导体A,B之间的电势差仅与导体A的电量成正比,与导体B周围的其他带电体或导体无关.
电容器的电容
导体A和导体B之间的电势差仅与导体A的电量成正比,与导体B周围的其他带电体或导体无关,将这种由导体A和导体B构成的一对导体系称为电容器.两个导体分别称为极板,两极板上分别带等量异号的电荷.
电容器的电容定义为:
C取决于两极板的大小,形状,相对位置和极板间电介质的电容率.
电容的大小反映了当电容器两极板间存在一定电势差时,极板上贮存电量的多少.
常见的真空电容器:平行板电容器,球形电容器,圆柱形电容器.
1,平行板电容器
d
A
B
S
由两块平行放置的金属板组成,极板面积S足够大,板间距离d足够小,即:
忽略边缘效应后,两板间的场强,电势差分别为:
故平行板电容器的电容为:
2,球形电容器
由两个同心金属球壳组成.在两球壳之间,具有球心对称的电场分布,其中P点的场强为
两球壳间的电势差为:
A
B
RA
RB
P
球形电容器的电容为:
3,圆柱形电容器
由两个同轴金属圆柱筒组成.在两圆柱面之间电场具有轴对称性,其中P点的场强为
两圆柱面之间的电势差为:
圆柱形电容器的电容为:
A
B
RA
RB
L
P
计算电容的步骤
设q
E
UAB
C
电介质电容器
电容器的电容还和两极板间所充的电介质有关.实验证明,充有电介质的电容器可增大好多倍.
设真空电容为C0,充满电介质时的电容为C.对孤立导体
d
A
B
S
例如对平行板电容器
d
A
B
S
成品电容器的指标:例如
电容
耐压值
电容器的串并联
串联:各电容器极板上的电量的绝对值都相等
并联:各电容器两极板间的电压都相等
§9- 4 电介质(dielectric)及其极化(polarization)
电介质 ——绝缘介质
1.电介质内没有可以自由移动的电荷,在电场作用下,电介质中的电荷只能在原子范围内移动.
2.分子电矩Pm
等效电偶极子(模型) 在一级近似下,可以把原子或分子看作一个电偶极子,即原子或分子的正负电"中心"相对错开.并用电偶极矩(电矩)描写原子或分子的电效应,称为分子电矩 : pm = qmLm
+
-
q
L
Cl
H
P
C
O
O
H
105°
H
P1
P2
P=P1+ P2
P1
O
C
O
P2
P=P1+P2=0
几种分子的电偶极矩
电介质的极化 (polarization)

电介质的极化:在外电场的作用下,电介质上(体内和表面)可出现极化电荷的现象.极化电荷——不能离开电介质,也不能在电介质内自由移动.
根据等效电偶极子模型,电介质分子可分为有极分子和无极分子两类
电介质极化的微观机制:
1.有极分子的极化
(1) 有极分子(polar molecule) :正常情况下,内部电荷分布不对称, 正负电"中心"已错开,有固有电矩pm.
有极分子:如HCl , H2O,CO 等.
(2)无外电场时: 每个分子 pm ≠ 0 ,由于热运动,各pm 分取向混乱 ,小体积 ΔV(宏观小,微观大,内有大量分子)内 ∑pm= 0 .
(3)有外电场时:各pm向电场方向取向(由于热运动,取向并非完全一致) ,ΔV 内 ∑ pm ≠ 0 ,且外电场越强 | ∑ pm | 越大, 这种极化称取向极化(orientation polarization)
2.无极分子的极化
(1)无极分子(non-polar molecule) :正常情况下电荷分布对称,正负电"中心"重合,无固有电矩.
无极分子:如He, H2, N2, O2,CO2等. .
(2)无外电场时: 每个分子无固有电矩
ΔV 内分子固有电矩的矢量和当然为零
(3)有外电场时:正负电"中心"产生相对位移, pm ≠ 0 这里pm称感生电矩(induced electricmoment)
ΔV 内∑ pm ≠ 0 且外电场越强 | ∑ pm | 越大,这种极化称为位移极化 (displacement polarization)
两类电介质极化的微观过程虽然不同,当宏观结果却是相同的,即:
1,在电介质的两个相对表面上出现异号的极化电荷;
2,在电介质内部有沿电场方向的电偶极矩.
因此在讨论电介质的极化现象时,就不再分两类来讨论.
极化电介质的微观模型:可见把已经极化的电介质看作是大量电偶极子的集合,每个电偶极子具有一定的电矩,即分子电矩Pm,各分子电矩在不同程度上沿电场方向排列.
电极化强度(electric polarization)
1.电极化强度 (矢量)
为描写电介质极化的强弱,引入电极化强度 .
定义:单位体积内分子电矩的矢量和
P 是位置的函数(点函数),各点P的大小和方向均相同,电介质极化是均匀极化,否则是 非均匀极化.单位: C/m2.
综上,对有极,无极分子都有:
无外电场时, P = 0
有外电场时, P ≠ 0 ,电场越强 | P | 越大
物理上的无限小量
2.电极化强度和场强的关系
电介质的极化是电场和介质分子相互作用的过程,外电场引起介质的极化,而电介质极化后出现的极化电荷也要激发电场,并改变电场的分布,重新分布的电场反过来再影响电介质的极化,直到静电平衡,电介质便处于一定的极化状态.由实验,对各向同性电介质,当电介质中电场E不太强时,有:
比例系数 e电极化率(polarizability),决定于电介质性质.
场强E:是电介质中某点的场强(包括该点的外电场以及电介质上所有电荷在该点产生的电场). 上述极化关系称各向同性线性电介质的线性极化
极化电荷
电介质极化后,在电介质体内及表面上可以出现极化电荷 (又称束缚电荷 bound charge).
电介质均匀极化(或均匀电介质被极化)时,只在介质表面出现极化电荷,称为极化面电荷 ;
电介质非均匀极化(非均匀电介质被极化)时,在电介质表面和内部均出现极化电荷,称为极化体电荷和极化面电荷.
3.电极化强度与极化电荷面密度的关系
对于均匀电介质,其极化电荷只集中在表面层里,或在两种不同的介面层里.

P
en
L
dS
L
+ ds
- ds
§9- 5 电介质中的静电场
空间中任一点的场强是自由电荷(激发外电场的原有电荷系)和极化电荷所激发场强的矢量和:
结果使得电介质外部空间,某些区域的合场强增强,某些区域减弱;
在电介质中,自由电荷电场合极化电荷的电场总是相反的,故合场强和外场强相比显著地被削弱.(电介质中的场强实质上是指在物理无限小体积内真实场强的平均值.)
定量计算电介质内部场强被削弱的情况:
E
E0
E
d
A
B
+ 0
- 0
+
-
S
自由电荷场强的大小:
极化电荷场强的大小:
合场强的大小:
E
E0
E
d
A
B
+ 0
- 0
+
-
S
两极板间的电势差:
两极板间充满电介质后的电容:
已知
所以
B
- 0
E
E0
E
d
A
+ 0
+
-
S
代入
得到极化电荷面密度合极板上自由电荷面密度的关系:
§9- 6 有电介质时的高斯定理 电位移(electric displacement)
(1)有电介质时,静电场的环路定理仍然成立
E是所有电荷(自由电荷和极化电荷)激发电场的合场强
(2)电介质中的高斯定理
设法将 q 从式中消去
E = E0+E
P
,
为了求E,引入描述电场的辅助矢量:电位移矢量D,从方程的形式上消去极化电荷及与极化电荷有关的E 和P,从而使E的计算大为简化.
E
P
S1
S2
+ 0
-
+
- 0
因为 P = ,考察:
所以
移项整理得:
将式中 定义为电位移D
于是,有电介质时的高斯定理为:
通过电介质中任意闭合曲面的电位移通量等于该闭合面所包围的自由电荷的代数和
对电位移D的几点讨论:
1. 对 D 的理解 (1)D 只和自由电荷有关吗
D 的高斯定理说明 D 在闭合面上的通量只和自由电荷有关,这不等于说 D 只和自由电荷有关.
由 ,也说明 D 既和自由电荷又和束缚电荷有关(E 是空间所有电荷共同产生的).
P
-q
+q
q
例如:EP由q,-q ,+q 共同激发,而DP= 0EP,显然也与极化电荷有关.
注:只有在各向同性线性均匀电介质充满整个电场空间或每种均匀电介质的分界面都是等势面的条件下,电位移D才只与自由电荷有关.
(2)电位移线
类似于电场线(E 线),在电场中也可以画出电位移线(D 线);由于闭合面的电位移通量等于被包围的自由电荷,所以D 线发自正自由电荷止于负自由电荷.
引入电位移线和电位移通量,形象描述电位移D
电位移线:类似与电场线,线上每一点的切线方向表示该点的电位移方向.
电位移通量:规定在垂直于电位移线的单位面积上通过的电位移线数目等于该点的电位移D的通量.
2. D,E,P 的关系
(1)一般关系:
普遍成立:对于各向同性电介质和各向异性电介质都适用.
所谓各向同性电介质,是指沿电介质各个方向的电学性质都相同.例如,外电场沿不同方向时,电介质的极化状态都相同,即极化程度都相同,极化方向均沿外电场方向.
真空中:P=0,
(2)对各向同性电介质(且场强不太大时)
因
代入上式,

引入:相对介电常量 (相对电容率) r (relative permittivity)介电常量(电容率) ( permittivity)
P可写作
(3)当各向同性线性均匀电介质充满整个电场时,由D的高斯定理及 有:

有电介质时电场的计算(及相关计算)【方法(延伸到求 V,C )】:
例题:带电 Q 的均匀带电导体球外有一同心的均匀电介质球壳(er 及各半径如图),求
(1) 电介质内外的电场;
(2) 导体球的电势;
(3) 电介质表面的束缚电荷.
解 :(1)场强分布
求 D:取高斯面如图由
经对称性分析
er
P
P
S1
S2
R1
R2
er
P
P
S1
S2
R1
R2
同理
求E:
同理
er
P
P
S1
S2
R1
R2
(2)求导体球的电势
(3)电介质表面的束缚电荷
求 P:
er
P
P
S1
S2
R1
R2
求σ,q:
外表面
内表面
此题所给系统也可看作三层均匀带电球面.由均匀带电球面内,外的场强结果,用场强叠加原理可得,
介质内
q 内的场强抵消了Q的部分场强.
介质外
q 内, q 外的场强相互抵消.
er
R1
R2
Q
§9- 8 电荷间的相互作用能 静电场的能量
点电荷间的相互作用能
首先回忆:a,电势的引入
b,电荷从A点移到B点,电场力所作的功为
静电势能是场源与处在场中的电荷之间的相互作用势能.
q2
q1
(a)
q1
a
q2
(b)
q1
a
q2
b
(c)
移动q1的过程中,外力作功为零
移动q2的过程中,电场力作功:
外力克服电场力作负功:V = 0
根据功能原理,外力所作的功等于这两个点电荷系统所具有的相互作用能量(电势能).上式可以改写成:
对三个点电荷形成的系统
建立这个电荷系统时,外力克服电场力作的总功:
推广到n个点电荷形成的系统,此系统所具有的相互作用能量(电势能)为:
注意:式中 Vi 表示在给定的点电荷系中,除第 i 个点电荷之外的所有电荷在第个 i 点电荷所在处激发的电势.
电荷连续分布时的静电能
和 为电荷的体密度和面密度, 为所有电荷在体积元dV和面积元dS所在处激发的电势.
注意:式中包含每一个带电体自身各部分电荷之间的相互作用能(固有能),称为静电能.与点电荷之间的相互作用能有区别.
静电体系的静电能 :静电体系处于某状态的电势能称静电势能或静电能.它包括体系内各带电体的固有能能和带电体间的相互作用能.
相互作用能: 将静电体系内的各带电体从所在位置,在保持各自电荷分布不变的情况下,把它们移至彼此相距无穷远,它们间的静电力所做的功,称作静电体系在原来状态的相互作用能.
例2,电荷Q均匀分布在半径为R的球体内,求它的静电能.
解:设球体的电荷是从无穷远处(电势为零处)一点一点移来,一层一层地从里到外逐渐分布而成,当移来的电荷为q时,半径为r,(电荷密度不变)这时,球面上的电势是
再从无穷远处移来dq,放到半径为r的球面上,外力反抗q的电场力所要作的功为Vdq,于是静电能的增量为
因为
所以
代入
积分便得
例1:平行板电容器的的静电能
例2,电荷Q均匀分布在半径为R的球体内,求它的静电能.
解:设球体的电荷是从无穷远处(电势为零处)一点一点移来,一层一层地从里到外逐渐分布而成,当移来的电荷为q时,半径为r,(电荷密度不变)这时,球面上的电势是
静电场的能量
以平行板电容器为例,说明静电场具有能量,即带电系统的静电能,此能量分布(贮藏)在电场所在的整个空间.
静电场的能量
静电场的能量密度(energy density of electric field) (单位:J/m3)
上式普遍适用
任一带电系统整个电场中贮存的总能量为
静电场的能量
任一带电系统整个电场中贮存的总能量为
说明:(1)上述结果虽由平板电容器导出,它对所有情况下电场的能量计算都可用.
(2)电能究竟"储存于有电场的空间"中,还是"储存于电荷所在处",在静电场中很难分清哪个说法正确.但在变化电磁场中,可以证明,电能储存于有电场的空间中的说法是正确的.